Неисправна контактная группа замка зажигания, либо система зажигания/управления двигателем подключена к цепи стартера (последнее - это вопрос к "умельцам", упомянутым выше). Возможно установлена система блокировки двигателя (в целях защиты от угона), нужно обратить внимание как она работает. Может быть еще что-то. Советую взять электрические схемы (есть на форуме) и сверить цепи питания системы зажигания/управления двигателем с реальной ситуацией на авто, мало ли что и как переделано.